2011年6月5日 星期日

Differential equations, my favorite "Nature Language"

Mathematics is the language in which God wrote the universe.

~ Galileo Galilei



在進入樹洞之前, 兔子在這裡先跟大家介紹一下當地的語言



生物共同目標就是繁殖
關於繁殖, 有項特性
傳統生物學家習慣這麼說:
在資源足夠的情形下, 族群的成長速率會隨著其成員增加而上升


另一個世界的人會這麼說:
               $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=r x$
其中, x 代表成員個數, r 在生物學上代表出生率或生殖率
"這句話"的意思是: 
單位時間內族群大小的改變($\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$) 來自於出生的個體數(r x)


兩句話說的是同一件事情
不過, 很多人看到第二種方法卻直接轉台, 當發現每台都這樣演就關電視
我同意, 有時候數學符號會構築一道令人望而生畏的高牆
有時候, 解方程式的過程是一場令人不願回想的夢靨

更多時候, 方程式是令人絕望的不可解 (尤其是住在非線性動態系統裡的傢伙們)


但是, 我覺得重要的是聽懂它們在講什麼
看到一道方程式, 不要急著想去解它
先想想, 在原本我們熟悉的語言中, 這道方程式代表什麼意思


在動態系統裡, "聽懂" 絕對重要於 "能解" (其實在動態系統中, 幾乎沒人在解微分方程)
試著熟悉新語言吧~


如果資源有限, 那族群不會無止盡的增大
會有一上限, 即環境負載力
用你熟習的語言來描述會是:
族群成長速度會隨著其成員數愈來愈靠近環境負載力而減緩
超過環境負載力時, 族群便會衰退


想想看該怎麼用數學描述它吧~
(沒有標準答案, 但有一個廣為接受的"說法", 下次再告訴你)



P.S. (僅供想解方程式的人參考)
$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=r x$
解這道問題是微分方程的第一堂課
首先注意, 雖然沒有明寫,但 x 是 t 的函數  ( i.e., x = x(t) )
這方程式告訴我們:
這個函數 x , 它微分之後正比於它自己
客官如果對微積分還存有些印象的話, 這種函數就是 exponential 
係數湊一下, 就可以猜到這題答案是 $x=x_0e^{r t}$
其中 $x_0$ 是個常數, 要用 Initial condition 決定, 此處不多加贅述



3 則留言:

  1. 以後可以在徐老師這邊上生物系統模擬了耶~~~
    好期待~~~

    另外我可以偷問一下那個上標是怎麼弄出來的嗎 XD<喂

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  2. 妳說 exp(rt)? 我是用 Mathematica 打好後轉成 LaTex

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