Life is a learning experience ~

The purpose of computing is insight, not numbers.

                                           ~ Richard Hamming

在大三上聽完俊輝哥的肌溶症與他在無塵居的算命人生之後
微分方程對我來說就像 enzyme 有其對應的 substrate 一般
各類型的微分方程也有其對應的解形式
 -- 一把鑰匙一把鎖, 至於打不打得開還得請祖先保佑
除此之外, 就是在抱怨為什麼 Laplace Transform 要在最後一週才教
否則這學期的課就自動變成在圖書館四樓的電影賞析了


直到遇見 Strogatz
就像吃了許榮助保肝丸
黑白變彩色
不騙你
(Highly Recommend: Nonlinear dynamics and chaos : with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. Steven H. Strogatz)


讓我們來看看上次的問題吧 

族群成長速度會隨著其成員數愈來愈靠近環境負載力而減緩

超過環境負載力時, 族群便會衰退

在那個世界, 一般廣為接受的講法是

$\frac{\text{dN}}{\text{dt}}=r N\left(1-\frac{N}{K}\right)$

其中 N 代表成員數, r 同樣是出生率, K 我們稱為環境負載力
(Note: This equation is called logistic equation.)
首先, 先把你自己變成一隻在 Wherever-it-is 山谷中的羊 (或兔子 whatever you like)
當同伴很少(族群小, N << K), 你不會感到食物不夠吃 (暴食羊 requires another model to deal with )
這時族群就會像處在擁有無限資源的環境中一樣
成長方式類似於我們學的第一句話

$\frac{\text{dN}}{\text{dt}}=r N$

( 強烈建議先用你的生物直覺去接受這種情形是合理的
  再去檢查數值上這樣的近似"似乎"沒有問題 )

而當族群成長到接近環境負載力時(但未達到)
"有限資源"的效應就會顯現出來, 使成長率($\frac{\text{dN}}{\text{dt}}$)下降
這現象被 $\left(1-\frac{N}{K}\right)$ 忠實地反映出來

當成員數超過環境負載力時, 族群成長率就會變成負的, 意即族群開始衰退

因此, $\frac{\text{dN}}{\text{dt}}=r N\left(1-\frac{N}{K}\right)$ 符合我們對於一個
處於有限資源中的族群的成長方式的期待 (很繞口, 抱歉)


在此再強調一次, 這只是一個被廣為接受的model, 不是一個"對"的model
你也可以建立一個你自己的model, 只要它符合一般人的生物直覺
畢竟就如同 George E. P. Box 所說

Essentially, all models are wrong, but some are useful.