2011年6月9日 星期四
Mathematics seems to endow one with something like a new sense. ~ Charles Darwin
上次不是說人生從黑白變彩色嗎?
怎麼感覺不太出來轉折點在哪?
因為我根本還沒講到! (上次那玩意兒我沒預料會佔掉一篇)
現在正式進入 "彩色" 世界
首先, 先找回我們的老友
$\frac{\text{dN}}{\text{dt}}=r N\left(1-\frac{N}{K}\right)$這次, 我們來看看族群成長率與成員數的關係圖 (就是把上次拉哩拉雜的文字用圖來表示)
(請自行體會圖與上次文字敘述對應處)
基於人類的本性(?)
我們首先有興趣知道啥時這族群大小不再變化
也就是族群成長率($\frac{\text{dN}}{\text{dt}}$) 為 0 的時候
So, 就是叫我們去解 $r N\left(1-\frac{N}{K}\right)=0$
顯然的有兩組解 : $N^*=0,K$ 也就是圖上的黑點與白點 (黑白所代表的意義留待稍後)
也就是說, 當族群沒有成員時, 族群大小不會改變 (廢話嘛...)
另一個較有趣的是當族群大小恰好等於環境負載力時, 族群大小也不會有所變化
( P.S. 這些使系統不再變化的點稱為 "Fixed points", 他們在往後的日子裡扮演極重要的角色
通常, 處理動態系統的第一步就是找出這些 fixed points )接著要帶大家體會一下 "動態"系統怎麼動?
想像你就是那個"N"
假如現在你存在於 "1" 這個區域, 例如你等於$\frac{K}{3}$
那麼你無法站在原地不動
因為系統告訴你, 你現在有一個想要增加的傾向 ($\frac{\text{dN}}{\text{dt}}>0$)
所以在下一瞬間, 你會增值
同理, 只要你還在 "1" 的區間內, 你就會一直往右邊"流"過去
當你流到 K 時, 你就會停了
相反的, 當你處在區間 "2" 時, 你會感到有股往左流的水流帶你往左走
($\frac{\text{dN}}{\text{dt}}<0$)
同樣的,將你帶到 K 為止, 之後便一直待在那
這是我一開始在學微分方程時完全沒有的觀點
當初就僅止於解題而已
從沒有想過將自己化為其中的一份子
去感受那個世界運行的法則
這個, 就是最吸引我的地方
最後, 我們要對 fixed points 做簡單的分類
因為在真實世界中, 系統不會"恰好"處在某個點, 通常會受到一些擾動
所以我們關心的是這些 fixed points 的穩定性 (stability)
在這裡, 穩定指的是說當你已經在某個 fixed point 上, 例如 K,
這時突然有個微擾(不知從何而來), 將你稍稍帶離了你原本在的 fixed point
如果之後你會再回到原本的 fixed point, 那麼這個 fixed point 就是穩定的 (stable, 以黑點表示)
若偏離後就像變心的愛人一去不回頭, 那這就是個 unstable fixed point (空心白點)
在這系統中, $N^*=K$ 是 stable fixed point, 而 $N^*=0$ 則是 unstable
從圖上可以很清楚的看到, 在 K 時, 不論你往左或往右偏移, 水流都會將你帶回 K
但是你一但往右偏移 0 (不可能往左偏移, 除非你告訴我什麼叫做這族群有負5隻羊)
就回不去了, 一江春水向東流, 直接帶你到 K點為止
(想想看, 這些分析與你之前的生物知識之間的對應處)
最後, 一些小附註及個人觀點
首先, 系統是由你有興趣的東西以及他們之間的交互作用所構成的
在這個例子中, 我們關心的東西就是羊族群, 沒有其他了
這種系統稱為 one-dimensional system
這系統的狀態(phase)(其實就是你關心這羊族群的什麼)是由成員數(N)來決定
(若你關心的是羊族群的總體重, 你的系統狀態就是由總體重來決定)
動態系統研究的就是系統狀態如何隨時間改變, 以及最後他們會到哪裡去
在這個例子中,只要一開始有羊, 最後這族群就會穩定在環境負載力
以系統狀態為座標軸所建構的空間我們稱為 "phase space"
Believe me, it is the most beautiful and interesting world!
由於這例子是一維系統,嚴格來說, 應該稱為 "phase line"
也就是你看到有水流的 X 軸 (Y軸不是喔!)
一維的世界很無趣的, 風景頂多就只有 stable and unstable fixed points
等到進入2維(where periodic behaviors happen) 甚至是3維(where chaos invades)
你就可以體會"有趣" 是怎麼回事
另外, 我們所關心的狀態稱之為"變數" (variables), 在這裡, 就是 N
其他東西稱為"參數"(parameters), 就是 r 跟 K
簡單來說, 一個簡單的族群生長都可以用這個例子來代表
不同的r, K 你可以想成是不同地方的族群
Wherever-it-is 山谷有自己的 $r_1,K_1$
Nobody-know-where-it-is 山谷也有它的$r_2,K_2$
Who-care-where-it-is 山谷更有另一組 $r_3,K_3$
但他們的族群行為都可以用同一個 model 表示
下次, 我們會看到不同的參數是如何影響系統的行為
也就是我最愛的Topic ~ "Bifurcation"
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